來自大陸的文章截錄，博彩行為的經濟分析
一般統計學入門的教科書，對“期望值”作這樣的解釋：
期望值（expected value）是指有數值結果的隨機現象之每一個結果乘上它的機率，再對所有可能結果加總而得。如果用符號表示，可能
結果是χ1，χ2…，χn，它的機率是P1，P2…，Pn，則期望值是：
E(X)= χ1 P1+χ2 P2+…，+ χn Pn（21.1）
但一般賭徒不明白上述公式（21.1）的含義，也不一定懂得根據期望值去選擇賭戲以及在賭博過程中的決策（選擇）問題。現舉例子，俾便說明。
例1．
假設有人提供A和B兩種賭戲（或賭法）供你選擇，倘要賭的話，必須賭10把，每把賭注為100元。選A，贏就獲得20元，輸則輸掉100元，贏的機率為0.8，輸的機率是0.2；若賭B，贏可得2,000元，輸則輸掉100元，贏的機率為0.1，輸的機率是0.9，倘閣下是理性的賭徒，必會選擇B。雖然A的勝算較高（有八成機會獲勝），但贏錢的期望值卻顯著地少；賭B，雖然勝算較小（只得一成機會），但贏錢的期望值較大，有足夠的吸引力，誘你一博。在這個例子中，賭A及B的期望值可以利用公式（21.1）求得：
E（A）=〔20元×0.8+（-100元）×0.2〕×10＝－40元
大括孤內的數據是指每賭1把的期望值，乘10是指賭10把的期望值。
E(B)＝〔2,000元×0.1+（-100元）×0.9〕×10=1,100元
可見在這個例1中，賭A，平均而言，賭10把輸掉40元；賭B，平均而言，賭10把，有 1,100元進賬。因此，在賭博決策中，賭徒應該考慮的是賭博的期望值，而不能單是考慮勝算的高低。
例2.
每1把賭注以及贏錢機率與例1相同，但有新規定是：（1）只賭1把；（2）不論賭A或B，誰先勝出可以獲得額外獎金3000元；（3）有多位賭徒參賽。現在問賭徒會選擇賭A還是B？
通過賭A及賭B的期望值計算，理性的賭徒便會懂得選擇。
E（A）＝20元×0.8+3000元×0.8+（-100元）×0.2＝2,396元
E（B）＝2,000×0.1+3,000元×0.1+（-100元）×0.9＝410元
很明顯，賭徒選擇賭A而放棄賭B，因為賭A的期望值比B高，多出1,986元。
從以上兩個例子中可以看出，理性的賭徒是以賭博期望值的大小作為決策（選擇）的依據。取大棄小是明智的選擇。
賭博期望收益率
為方便行文和展開討論，筆者需要引入“期望收益率”（Expected return rate，E(r)）這個概念。賭博期望收益率有兩個，一個是賭客的，另一個是賭場的。賭客的期望收益率是指，押注某項賭戲的期肓值與押注額之比。例如在前面所說的“例1”中，賭A，每把期望值是20元
×0.8+（-100元）×0.2＝－4元，將期望值－4元除以押注的金額100元，即求出E（r）＝－4％。賭場的期望收益率則是指的期望值與受注額之比。賭客與睹場的期望收益率絕對值是相同的，只是一負一正而已。例如前面所說的“例1”中，賭客的期望收益率為－4％，則賭場的期望收
益率為4％。
大數法則是現實世界中一個普遍原理。一般概率論與數理統計的教科書是這樣解釋：在某些很一般的條件下，隨機因素的聯合作用下導致一個實際上並非隨機的結果；當試驗次數增加時，一個隨機事件發生的頻率趨向於它的概率。
從博彩經濟學的角度而言，賭場是運用大數法則來為其服務的。個別賭徒在某些時間、日子能夠贏錢，但整體賭徒是經常地、長時間地，近乎永遠和絕對地要輸錢的。當然，從概率的角度而言，賭場也有被全體賭徒打敗的可能，不過這個機會（概率）實在低得可憐，連千萬億分之一的機會也達不到。
隨機賭戲的特點
首先，要弄懂一個概念:“隨機現象”（stochastic appearance或rahdom appearance）。自然界中有許多現象（appearance）在一定條件下必然會發生。例如：同性電荷必然互相排斥；在標準大氣壓下，將水加熱到100℃必然沸騰等，這類現象稱為確定性現象（或事件）。在一定條件下，必然出現的結果稱為必然事件，必然事件的對立面是不可能事件。然而現實生活和自然界中還存在大量的不確定性現象。例如，觀察某一超市每天顧客的人數與銷售商品的數額都是不確定的；正在放射α粒子的放射性物質，每天在規定的同一時間內放射的粒子數，事先無法確定。這類現象的共同點是：在基本條件保持不變的情況之下，時而出現這樣的結果，時而又出現那樣的結果，而且事先無法預測出現的究竟是哪一種結果，這類現象（事件）就稱為隨機現象（事件）。
體育競賽結果不屬隨機事件
為甚麼體育運動賭博有部分（實際是極少部分）賭徒能夠做到平均贏、長期贏呢？最簡單的回答是：因為體育競賽的賽果不是隨機性的。
道理十分簡單，在同一國家（或地區）的足球比賽，當一支甲組班霸隊與一支乙組班尾隊較量，在各種基本因素不變的情況下，比賽的結果是可以預測的：該甲組強隊有十拿九穩的機會打敗乙組弱隊。又例如在賽馬賭博當中，在平磅，在其他基本因素不變的情況下，通常是一班馬長途馬贏六班長途馬。
先回答兩條問題。
1、問：為甚麼部分賭徒能夠在運體博彩中長賭必贏（或平均贏、長線贏）？
答：因為運動競賽的勝負結果是以預測和計算的。
2、為甚麼運動競賽的勝負結果是可以預測和計算的？
答：因為運動競賽的勝負結果不是由隨機因素主宰，而是由人為由素，例如實力、狀態、決心等決定的。而實力、狀態、決心等可以通過觀察、收集資訊情報、進行綜合推斷、統計分析等手段、可以獲悉的。
提出上述問題和標準答案，主要是從概念上解釋了：部分（實際是極小部分，賭徒（一般是職業賭徒）能夠在非隨機因素主宰的運動博彩中可以做到長期賭必贏、長線贏、平均贏，但並沒有給出數學上的理由。
長賭必贏的數學方程式
數學理論表明：任何賭博要做到長線贏、平均贏，其必要條件是投注於期望值（或期望回報率）大於零的賭戲上；相反，倘投注於期望值（或期望回報率）小於零的賭戲上，則長賭必輸、長線輸、平均輸。部分職業賭徒選擇在期望值（或期望回報率）大於零的場合落注，所以他們能夠做到長賭必贏。長賭必贏的數學公式是：
賠率（odd）×機會率（probability）>1
以上公式中的賠率（odd）是指投注某項賭博，勝出時，莊家（或對手）依法比率賠付的彩金；機會率是指勝出的機會，實際是指勝出機會率（winning probobility）；右邊的1，可寫成100％。舉例，倘閣下投注于某項賭戲，賠率是10（連本計），投注額100元，若然勝出，便可獲得1,000元（連本計）；倘該項賭戲，的勝算只有0.08（即8％），則投注100元，就平均（或長線）而言，每投注100元，只能期望收回10×0.08×100元＝80元，即期望回報率為80元∕100元＝80％＝0.8。因此，在這項期望值（連本計）小於1的賭戲，長賭下去必輸無疑。相反，倘該項賭戲的期望值（或期望回率）大於1，例如是1.2（或120％），則長賭下去必贏，平均每把投注100元，則可贏20元，（連本計是120元）。
選擇期望值大於一的賭戲
運動博彩，例如足球博彩在某個時段間開出的賠率是固定及可以觀察的，但機會率（指投注的勝出機會）則不容易觀察，但投注者在事前收集資料、往績、實力、決心、狀態等資訊進行計量，給出一個主觀概率（subjeetive probability），然後計算出期望值（或期望回報率），倘期望值大於1，表示該項賭戲值得投注。職業賭徒在收集和處理資料、往績、近態、實力、決心方面資訊的能力比一般賭徒強得多了，所以他們能夠長賭必贏。例如，日前（9月5日）舉行的06年世界盃南美區週邊賽巴西對智利，亞洲讓球盤為巴西讓球半至2球，賠率（連本）是2．05。倘某職業賭徒收集到的訊息通過計量得出的判斷是：巴西最少能勝3球或以上，他評估巴西勝算的機率達95％或以上。也就是說，這場球賽投注亞洲盤巴西隊勝出的期望回報率為2.05×0.95＝1.98>1。於是他放膽，甚至是重錘投注巴西隊（賽果是巴西大勝智利5比0，捧巴西隊又重錘投注的賭徒獲得豐收）。
很高興的是…期貨市場是非隨機的，所以可以有個方向衡量他的運動，只要找出長賭必贏的數學公式是：
賠率（odd）×機會率（probability）>1 ，就可以在期貨市場中獲利。
一般統計學入門的教科書，對“期望值”作這樣的解釋：
期望值（expected value）是指有數值結果的隨機現象之每一個結果乘上它的機率，再對所有可能結果加總而得。如果用符號表示，可能
結果是χ1，χ2…，χn，它的機率是P1，P2…，Pn，則期望值是：
E(X)= χ1 P1+χ2 P2+…，+ χn Pn（21.1）
但一般賭徒不明白上述公式（21.1）的含義，也不一定懂得根據期望值去選擇賭戲以及在賭博過程中的決策（選擇）問題。現舉例子，俾便說明。
例1．
假設有人提供A和B兩種賭戲（或賭法）供你選擇，倘要賭的話，必須賭10把，每把賭注為100元。選A，贏就獲得20元，輸則輸掉100元，贏的機率為0.8，輸的機率是0.2；若賭B，贏可得2,000元，輸則輸掉100元，贏的機率為0.1，輸的機率是0.9，倘閣下是理性的賭徒，必會選擇B。雖然A的勝算較高（有八成機會獲勝），但贏錢的期望值卻顯著地少；賭B，雖然勝算較小（只得一成機會），但贏錢的期望值較大，有足夠的吸引力，誘你一博。在這個例子中，賭A及B的期望值可以利用公式（21.1）求得：
E（A）=〔20元×0.8+（-100元）×0.2〕×10＝－40元
大括孤內的數據是指每賭1把的期望值，乘10是指賭10把的期望值。
E(B)＝〔2,000元×0.1+（-100元）×0.9〕×10=1,100元
可見在這個例1中，賭A，平均而言，賭10把輸掉40元；賭B，平均而言，賭10把，有 1,100元進賬。因此，在賭博決策中，賭徒應該考慮的是賭博的期望值，而不能單是考慮勝算的高低。
例2.
每1把賭注以及贏錢機率與例1相同，但有新規定是：（1）只賭1把；（2）不論賭A或B，誰先勝出可以獲得額外獎金3000元；（3）有多位賭徒參賽。現在問賭徒會選擇賭A還是B？
通過賭A及賭B的期望值計算，理性的賭徒便會懂得選擇。
E（A）＝20元×0.8+3000元×0.8+（-100元）×0.2＝2,396元
E（B）＝2,000×0.1+3,000元×0.1+（-100元）×0.9＝410元
很明顯，賭徒選擇賭A而放棄賭B，因為賭A的期望值比B高，多出1,986元。
從以上兩個例子中可以看出，理性的賭徒是以賭博期望值的大小作為決策（選擇）的依據。取大棄小是明智的選擇。
賭博期望收益率
為方便行文和展開討論，筆者需要引入“期望收益率”（Expected return rate，E(r)）這個概念。賭博期望收益率有兩個，一個是賭客的，另一個是賭場的。賭客的期望收益率是指，押注某項賭戲的期肓值與押注額之比。例如在前面所說的“例1”中，賭A，每把期望值是20元
×0.8+（-100元）×0.2＝－4元，將期望值－4元除以押注的金額100元，即求出E（r）＝－4％。賭場的期望收益率則是指的期望值與受注額之比。賭客與睹場的期望收益率絕對值是相同的，只是一負一正而已。例如前面所說的“例1”中，賭客的期望收益率為－4％，則賭場的期望收
益率為4％。
大數法則是現實世界中一個普遍原理。一般概率論與數理統計的教科書是這樣解釋：在某些很一般的條件下，隨機因素的聯合作用下導致一個實際上並非隨機的結果；當試驗次數增加時，一個隨機事件發生的頻率趨向於它的概率。
從博彩經濟學的角度而言，賭場是運用大數法則來為其服務的。個別賭徒在某些時間、日子能夠贏錢，但整體賭徒是經常地、長時間地，近乎永遠和絕對地要輸錢的。當然，從概率的角度而言，賭場也有被全體賭徒打敗的可能，不過這個機會（概率）實在低得可憐，連千萬億分之一的機會也達不到。
隨機賭戲的特點
首先，要弄懂一個概念:“隨機現象”（stochastic appearance或rahdom appearance）。自然界中有許多現象（appearance）在一定條件下必然會發生。例如：同性電荷必然互相排斥；在標準大氣壓下，將水加熱到100℃必然沸騰等，這類現象稱為確定性現象（或事件）。在一定條件下，必然出現的結果稱為必然事件，必然事件的對立面是不可能事件。然而現實生活和自然界中還存在大量的不確定性現象。例如，觀察某一超市每天顧客的人數與銷售商品的數額都是不確定的；正在放射α粒子的放射性物質，每天在規定的同一時間內放射的粒子數，事先無法確定。這類現象的共同點是：在基本條件保持不變的情況之下，時而出現這樣的結果，時而又出現那樣的結果，而且事先無法預測出現的究竟是哪一種結果，這類現象（事件）就稱為隨機現象（事件）。
體育競賽結果不屬隨機事件
為甚麼體育運動賭博有部分（實際是極少部分）賭徒能夠做到平均贏、長期贏呢？最簡單的回答是：因為體育競賽的賽果不是隨機性的。
道理十分簡單，在同一國家（或地區）的足球比賽，當一支甲組班霸隊與一支乙組班尾隊較量，在各種基本因素不變的情況下，比賽的結果是可以預測的：該甲組強隊有十拿九穩的機會打敗乙組弱隊。又例如在賽馬賭博當中，在平磅，在其他基本因素不變的情況下，通常是一班馬長途馬贏六班長途馬。
先回答兩條問題。
1、問：為甚麼部分賭徒能夠在運體博彩中長賭必贏（或平均贏、長線贏）？
答：因為運動競賽的勝負結果是以預測和計算的。
2、為甚麼運動競賽的勝負結果是可以預測和計算的？
答：因為運動競賽的勝負結果不是由隨機因素主宰，而是由人為由素，例如實力、狀態、決心等決定的。而實力、狀態、決心等可以通過觀察、收集資訊情報、進行綜合推斷、統計分析等手段、可以獲悉的。
提出上述問題和標準答案，主要是從概念上解釋了：部分（實際是極小部分，賭徒（一般是職業賭徒）能夠在非隨機因素主宰的運動博彩中可以做到長期賭必贏、長線贏、平均贏，但並沒有給出數學上的理由。
長賭必贏的數學方程式
數學理論表明：任何賭博要做到長線贏、平均贏，其必要條件是投注於期望值（或期望回報率）大於零的賭戲上；相反，倘投注於期望值（或期望回報率）小於零的賭戲上，則長賭必輸、長線輸、平均輸。部分職業賭徒選擇在期望值（或期望回報率）大於零的場合落注，所以他們能夠做到長賭必贏。長賭必贏的數學公式是：
賠率（odd）×機會率（probability）>1
以上公式中的賠率（odd）是指投注某項賭博，勝出時，莊家（或對手）依法比率賠付的彩金；機會率是指勝出的機會，實際是指勝出機會率（winning probobility）；右邊的1，可寫成100％。舉例，倘閣下投注于某項賭戲，賠率是10（連本計），投注額100元，若然勝出，便可獲得1,000元（連本計）；倘該項賭戲，的勝算只有0.08（即8％），則投注100元，就平均（或長線）而言，每投注100元，只能期望收回10×0.08×100元＝80元，即期望回報率為80元∕100元＝80％＝0.8。因此，在這項期望值（連本計）小於1的賭戲，長賭下去必輸無疑。相反，倘該項賭戲的期望值（或期望回率）大於1，例如是1.2（或120％），則長賭下去必贏，平均每把投注100元，則可贏20元，（連本計是120元）。
選擇期望值大於一的賭戲
運動博彩，例如足球博彩在某個時段間開出的賠率是固定及可以觀察的，但機會率（指投注的勝出機會）則不容易觀察，但投注者在事前收集資料、往績、實力、決心、狀態等資訊進行計量，給出一個主觀概率（subjeetive probability），然後計算出期望值（或期望回報率），倘期望值大於1，表示該項賭戲值得投注。職業賭徒在收集和處理資料、往績、近態、實力、決心方面資訊的能力比一般賭徒強得多了，所以他們能夠長賭必贏。例如，日前（9月5日）舉行的06年世界盃南美區週邊賽巴西對智利，亞洲讓球盤為巴西讓球半至2球，賠率（連本）是2．05。倘某職業賭徒收集到的訊息通過計量得出的判斷是：巴西最少能勝3球或以上，他評估巴西勝算的機率達95％或以上。也就是說，這場球賽投注亞洲盤巴西隊勝出的期望回報率為2.05×0.95＝1.98>1。於是他放膽，甚至是重錘投注巴西隊（賽果是巴西大勝智利5比0，捧巴西隊又重錘投注的賭徒獲得豐收）。
很高興的是…期貨市場是非隨機的，所以可以有個方向衡量他的運動，只要找出長賭必贏的數學公式是：
賠率（odd）×機會率（probability）>1 ，就可以在期貨市場中獲利。
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